Theoretische Mechanik

Quelle: Wikipedia. Seiten: 31. Kapitel: Äquivalenzprinzip, Inertialsystem, Lagrange-Formalismus, Noether-Theorem, Hamiltonsche Mechanik, Prinzip des kleinsten Zwanges, Beschleunigtes Bezugssystem, Virtuelle Arbeit, Kanonische Transformation, Hamiltonsches Prinzip, Hamilton-Jacobi-Formalismus, Satz von König, Machsches Prinzip, Satz von Liouville, Ruhesystem, Hamilton-Funktion, Störungstheorie, Reduzierte Masse, Schwerpunktsatz, Schwerpunktsystem, Schwerpunktsenergie. Auszug: Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrangefunktion, beschrieben wird. Dadurch wird automatisch eine Invarianz gegen Koordinatentransformationen in den Formalismus "eingebaut". Aus der Funktion lassen sich die Bewegungsgleichungen mit der Euler-Lagrange-Gleichung der Variationsrechnung aus dem Hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, denn im Gegensatz zu der Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die geeignete Wahl generalisierter Koordinaten berücksichtigen. Für Systeme mit einem generalisierten Potential und holonomen Zwangsbedingungen lautet die Lagrangefunktion wobei die kinetische Energie und die potenzielle Energie des betrachteten Systems bezeichnen. Man unterscheidet sogenannte Lagrangegleichungen erster und zweiter Art. Im engeren Sinn versteht man unter dem Lagrange-Formalismus und den Lagrangegleichungen aber die zweiter Art, die häufig einfach als Lagrangegleichungen bezeichnet werden: Dabei sind generalisierte Koordinaten und deren Zeitableitungen. Mit den Lagrangegleichungen erster Art lassen sich die Zwangskräfte explizit ausrechnen. Sie sind äquivalent zu den Gleichungen, die sich aus dem D'Alembertschen Prinzip ergeben. Wir betrachten Punktteilchen im mit den Ortsvektoren , , deren Koordinaten durch voneinander unabhängige (holonome) Zwangsbedingungen der Form mit eingeschränkt sind (wobei eine explizite Zeitabhängigkeit zugelassen wurde). Dadurch werden die Lagen der Teilchen auf eine -dimensionale Mannigfaltigkeit eingeschränkt (f ist die Anzahl der Freiheitsgrade). Die Zwangskräfte stehen senkrecht auf dieser Mannigfaltigkeit und können daher durch eine Linearkombination d