Differentialtopologie

Quelle: Wikipedia. Seiten: 46. Kapitel: Mannigfaltigkeit, Morsetheorie, Chernklasse, Cartan-Ableitung, Tangentialraum, Stereografische Projektion, Differenzierbare Mannigfaltigkeit, De-Rham-Kohomologie, Faserbündel, Vektorbündel, Lie-Ableitung, Poincaré-Lemma, Diffeomorphismus, Schnittzahl, Mannigfaltigkeit mit Rand, Transversalität, Zerlegung der Eins, Hodge-Zerlegung, Verbundene Summe, Kotangentialraum, Tangentialbündel, Blätterung, Immersierte Mannigfaltigkeit, Thom-Raum, Atlas, Pushforward, Dolbeault-Kohomologie, Hopf-Faserung, Satz von Poincaré-Hopf, Rücktransport, Differenzierbare Struktur, Prinzipalbündel, Todd-Klasse, Satz von Sard, Fluss, Untermannigfaltigkeit, Satz vom Igel, Tautologisches Bündel, Geschlossene Mannigfaltigkeit, Charakteristische Klasse, Kreuzhaube, Poincaré-Dualität. Auszug: Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum gleicht. Im Ganzen muss die Mannigfaltigkeit jedoch nicht einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm homöomorph sein). Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik. Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine Sphäre (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche: Jede Region der Erde kann man mit einer Karte auf eine Ebene () abbilden. Nähert man sich dem Rand der Karte, sollte man zu einer anderen Karte wechseln, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann man eine Mannigfaltigkeit durch einen vollständigen Satz von Karten vollständig beschreiben; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Dagegen gibt es keine einzelne Karte, auf der die gesamte Kugeloberfläche vollständig dargestellt werden kann, ohne sie zu ¿zerreißen¿; Weltkarten haben ja auch stets ¿Ränder¿, oder sie bilden Teile der Erde zweimal ab. Ein anderes Beispiel ist der Torus (¿Rettungsring¿). Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension. Das Konzept von Mannigfaltigkeiten entstand im neunzehnten Jahrhundert insbesondere durch Forschung in der Geometrie und der Funktionentheorie. Während Differentialgeometer lokale Konzepte wie zum Beispiel die Krümmung von Kurven und Flächen untersuchten, betrachteten Funktionentheoretiker globale Probleme. Sie fanden heraus, dass Eigenschaften von Funktionen mit topologischen Invarianten der Menge für bestimmte zusammenhängen. Diese Mengen sind Mannigfaltigkeiten (vgl. Satz vom regulären Wert). Bernhard Riemann machte im Bereich der Geometrie der Mannigfaltigkeiten enorme Fortschritte. In seinem Promotionsvortrag, welchen er unter anderem vor Carl Friedrich Gauß halten musste, führte er die riemannschen Mannigfaltigke